¿QUÉ CONJUNTO TIENE "MAS" ELEMENTOS EL CONJUNTO DE LOS NATURALES O EL DE LOS ENTEROS?

 

Bienvenid@s a una nueva entrada. Hoy vamos a hablar de teoría básica de conjuntos y del concepto de conjuntos finitos e infinitos. Para ello, tenemos que tener en cuenta, lo primero de todo, la definición de conjunto.

Definición: Un conjunto X no es más que una colección ordenada de elementos.

A partir de ahora, consideraremos al conjunto que tiene cero elementos (conjunto vacío) como un conjunto.

Antes de meternos un poco más a bucear sobre conceptos matemáticos, vamos a estudiar un poco de historia matemática.

David Hilbert, el señor que tenéis en la fotografía:

Predijo que las matemáticas eran todas ellas: 

1. COMPLETAS (En pocas palabras: Que estaban construidas todas las matemáticas o que tenemos los instrumentos necesarios para construir todo lo construible).
2. CONSISTENTES (Que los resultados que se conocen no contradigan otros resultados).
3. DECISIBLES (Que todo resultado se pudiera probar sin hacer ningún acto de fe).

Posteriormente, llegó Gödel y dijo que estas tres características NO se podían dar, por varios motivos, que, de manera muy resumida, su demostración se basa en:

• Si las matemáticas fueran COMPLETAS se podría construir lo que pudiéramos imaginar, en particular teorías que afirmarían que no se pueden construir todas las matemáticas, luego entraríamos en contradicción con la existencia de las matemáticas.
• Si existiera un Teorema o un resultado que nos dijera que todos los teoremas, proposiciones, corolarios, propiedades, axiomas, etc, son CONSISTENTES, teorema que llamaríamos el Teorema de Consistencia, este propio teorema sería inconsistente.
• Si las matemáticas fueran DECISIBLES, existiría una computadora capaz de demostrar todos y cada uno de los resultados que existen o puedan existir en matemáticas. Más aún, existiría una computadora capaz de decirnos si la demostración de un resultado se realizaría en un tiempo finito, infinito o no tendría sentido realizar su demostración porque sería una verdad absoluta, y esto sería imposible.

Entonces, Rubén, ¿qué narices tiene que ver lo que nos acabas de explicar con lo que va a aparecer en esta entrada?

Para entenderlo, vamos a ver la siguiente:

Definición: El cardinal de un conjunto X es el número de elementos que posee ese conjunto. Se le denota por |X| o por card(X).

Definición: Un conjunto X es finito cuando |X|=n con n natural o cero.

Vale, parece que ya nos vamos acercando al concepto de conjunto finito o infinito. Vamos a explotar un poco más todo lo que tenemos interiorizado hasta este momento.

Si nos preguntamos que conjunto tiene más elementos, si un conjunto finito o infinito, la respuesta sería más que clara: un conjunto de infinitos elementos.

Ahora, la dificultad cambiaría al preguntarnos: si tenemos dos conjuntos con infinitos elementos, ¿qué conjunto tiene más elementos? 

Rubén, Rubén, te estás quedando conmigo de nuevo, si ambos son infinitos, ¡pues ambos tendrán el mismo número de elementos!

Bien, pues no es exactamente así.

A un alumno novato de cualquier carrera de ciencias, en especial en matemáticas nos pueden hacer la siguiente pregunta: ¿en qué conjunto hay "más elementos", en el conjunto de los naturales o en el conjunto de los enteros?

Si como novatos/as respondéis que en el de los enteros porque en el de los enteros hay números positivos y negativos y en el de los naturales solo hay positivos, dejadme deciros que tenéis casi razón, pero que estáis equivocados😪. 

Vamos a demostrar en la siguiente entrada que hay EXACTAMENTE el mismo número de elementos en N que en Z. Pero eso será en la siguiente... ¡entrada!